A symmetric solution of a multipoint boundary value problem at resonance
<p>We apply a coincidence degree theorem of Mawhin to show the existence of at least one symmetric solution of the nonlinear second-order multipoint boundary value problem <mml:math alttext="$u''(t) =f(t,u(t),|u'(t)|), t in (0,1)$"> <mml:msup&...
Saved in:
| Format: | Article |
|---|---|
| Language: | English |
| Published: |
Wiley
2006-01-01
|
| Series: | Abstract and Applied Analysis |
| Online Access: | http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/AAA/2006/54121 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Summary: | <p>We apply a coincidence degree theorem of Mawhin to show the existence of at least one symmetric solution of the nonlinear second-order multipoint boundary value problem <mml:math alttext="$u''(t) =f(t,u(t),|u'(t)|), t in (0,1)$"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>″</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>, <mml:math alttext="$u(0) = sum_{i=1}^n mu_i u(xi_i), u(1-t) = u(t), t in [0,1]$"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>, where <mml:math alttext="$0 lt xi_1 lt xi_2 lt cdots lt xi_n leq {1}/{2}$"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math>, <mml:math alttext="$sum_{i=1}^n mu_i = 1$"> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math>, <mml:math alttext="$f: [0,1]imes mathbb{R}^{2} ightarrow mathbb{R}$"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>ℝ</mml:mi> </mml:math> with <mml:math alttext="$f(t,x,y) = f(1-t,x,y)$"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>, <mml:math alttext="$(t,x,y) in [0,1]imes mathbb{R}^{2}$"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math>, satisfying the Carathéodory conditions.</p> |
|---|---|
| ISSN: | 1085-3375 |