Оцінки похибок наближення класів неперервних диференційованих функцій ламаними - Олександр Щитов; Микола Мормуль (Challenges and Issues of Modern Science)
У метриках неперервних та неспадних функцій φ(x) отримано наступне: а) оцінки апроксимації класів 1-періодичних функцій W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N), де ω(t) є вверхньою опуклою модулем неперервності, та інтерполяція функцій f(t) ∈ W^(2ν+1) Hω*; б) за допомогою кусково-сталих функцій σ_n (f,t) в інтегральній метриці L_p (0 < p < ∞); в) за допомогою кусково-сталих функцій σ_n (f,t) в однообразній метриці. Оцінки похибок апроксимації класів 1-періодичних функцій з класів W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N), де ω(t) є вверхньою опуклою модулем неперервності, за допомогою кусково-сталих функцій σn(f, t) в інтегральних і однообразних метриках Lp (0 < p < ∞). Оцінки виражені через функцію Ω_2v(w, t). Уточнено точність оцінок похибок отриманих апроксимацій. Доведено теорему про зв'язок між неперервною та монотонно зростаючою функцією φ(x) ∈ Ф на інтервалі [0, ∞) та будь-якою функцією W^(2ν+1) Hω* (ν ∈ N) і n = 2, 3, …, ∞; а також два леми та два наслідки з теореми. Результати проведених досліджень є своєрідним розширенням відомих раніше результатів апроксимації функцій до класів 1-періодичних функцій та більш загальних просторів φ(L). Доведено, що отримані оцінки є непокращуваними для n = 2m (m ∈ N) на всьому класі W^(2ν+1) Hω*. Нові результати теорії апроксимації функцій, отримані в ході дослідження, можуть бути використані для подальших практичних застосувань, зокрема, у теорії вейвлетів для аналізу частотних складових сигналів (залежних від часу функцій) за методами, схожими на перетворення Фур'є. Прикладний аспект використання отриманих наукових результатів також полягає у можливості застосування оцінок похибок апроксимації теорії числових методів у побудові числових алгоритмів та обробці сигналів у схемотехніці.